悖论|无穷，完美抑或缺失？( 二 ) 穿过|悖论|缺失|数学|作品|专著

在《无尽的玩笑》之后，华莱士还出版了多部短篇小说集和散文集。而《穿过一条街道的方法》则是他沉重华丽的桂冠上的另一颗宝石，一本独一无二的数学专著。考虑到华莱士小说阅读的困难程度，或许这本数学专著反倒通俗一些。
“穿过一条街道”这个书名来自古希腊哲学家和数学家芝诺的二分悖论：“你站在一个街角，你试图穿过街道。请注意‘试图’这个字眼，因为在你用尽办法穿过整条街道之前，你显然不得不经过街道的一半，而你经过一半之前，不得不经过一半的一半。而在你经过一半的一半之前，你显然必须经过一半的一半的一半……”这个悖论的实质，是把过街这种我们每天都要完成很多回的活动，分解为无穷多个动作——既然是“无穷” ，意思就是这些动作的次数没有终点。于是，一个恐怖的结论出现了：人在逻辑上是过不了街的。
二分悖论的可恶之处，在于成功地把人引入了无穷的迷途。日常生活里，每每无穷这个词出现，总伴随着人们对它的称颂、崇拜，它广博、浩瀚，不受限制，趋近于完美，是人类所不可能企及的。然而，倒映在数学家眼中的无穷，却完全与此背道而驰。就像亚里士多德所言：“无限的本质就是缺失，不是完美无缺而是有限的缺失。 ”如何去寻找、证明缺失的存在？这看起来是一个不可能完成的任务。华莱士力图在《穿过一条街道的方法》中揭示的，正是数学家们如何以自身的有限去发现（或者说创造，这在数学界一直有争议）无穷的历史。
要追踪无穷在数学史上的踪迹，我们必须跟随华莱士回到古希腊。出人意料的是，热爱数学的古希腊人不仅不欣赏、不崇拜无穷，还对它抱有厌恶、怀疑的态度。在古希腊人参与到数学研究之前，古巴比伦-埃及人就获得了很高的数学成就，但他们对于数学的兴趣完全源自于生活实践，数学于他们是一种解决现实问题的工具。希腊人将数学抽象化了，他们相信，抽象的数学实在完全不同于人类所熟悉的那种经验实在，而数学论证的是和人类可感知的现实与熟悉的经验范畴完全无关的世界，虽然现实世界诸多现象背后也隐藏着纯粹的、形式的数学关系。对此，我们可以这么理解：当面对5个橘子加减的问题时，前人感兴趣的是橘子，而古希腊人感兴趣的则是5 。他们不关心可触可感的物，并将数字从具体的特性、感性经验中剥离出来。至此，数学获得了抽象这一本质的特性。
三
然而，即便对于热爱抽象思考的古希腊人，无穷也是极其麻烦的存在，恰如亚里士多德所指出的那样，无穷是一种对于抽象的抽象，一个人需要在头脑里抽象掉所有的有限，才能得到这个代表无穷的符号∞ 。可当我们试图定义“无穷”的概念时，又发现这是一个更大的问题。
当然，无论是华莱士，还是作为本书普通读者的我们，都不是最先意识到问题所在的人。华莱士在书中提到，亚里士多德早在《物理学》第六卷探讨二分悖论（又来了！）的时候就注意到无穷概念的含混之处，他指出：“长度、时间以及任何连续的东西在两种意义上可以被称为‘无穷’的，即可分性和大小的意义上。 ”也就是说，无穷既可以意味着无穷大、无穷小、无穷长、无穷短，也可以表示有限之物的无穷可分性。
但不要以为折磨人的无穷至此放过了我们，因为亚里士多德接着又把无穷分成了“实无穷”和“潜无穷” 。所以，我们不得不再一次回到二分悖论——如果我们把街道不断地二分，就会出现无数个分割点，这些点作为一个完整的实体存在，这些点的集合就是实无穷。如果我们把每天上午都会出现的“6:54”看成一个集合，我们就必须承认，所有的“6:54”从来没有并存过，这便是潜无穷……