什么是完全平方数什么是完全平方数举例( 二 ) _生活百科

29、证明充分性：设b为平方数，则 ==(ac) 必要性：若为完全平方数，=，则性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
30、证明由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
31、性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2 < k^2 < (n+1)^2 则k一定不是整数。
32、性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身) 。
33、 (二)重要结论 1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数； 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数； 5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数； 6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数； 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数； 8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
34、 (三)范例 [例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
35、解：设此自然数为x，依题意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n为自然数) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89 因为n+m>n-m 又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45 。
36、代入(2)得。
37、故所求的自然数是1981 。
38、 [例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题) 。
39、分析设四个连续的整数为，其中n为整数。
40、欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
41、证明设这四个整数之积加上1为m，则 m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
42、这就证明了m是一个奇数的平方。
43、 [例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题) 。
44、分析形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
45、证明若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
46、若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
47、综上所述，不可能是完全平方数。
48、另证由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。
49、但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
50、 [例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。
51、证明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即为完全平方数。
52、 [例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600 3｜600 ∴3｜A 此数有3的因数，故9｜A 。
53、但9｜600，∴矛盾。
54、故不可能有完全平方数。
55、 [例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题) 。
56、解：设此数为此数为完全平方，则必须是11的倍数。
57、因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
58、直接验算，可知此数为7744=88 。
59、 [例7]：求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。
60、 (2)被22除余数为5 。
61、 (3)它是完全平方数。
62、解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

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