分形几何与部分同步动力学之间的新桥梁 _分形几何

在数学中，简单的方程可以在时间上产生复杂的演化，在空间中产生有趣的模式。一个著名的例子是 Mandelbrot 集，以波兰裔法裔数学家 Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) 的名字命名，他是研究最多的分形。这个集合基于一个只有一个参数和一个变量的二次方程。Mandelbrot 集迷人的分形图案吸引了远远超出数学的关注。

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Ralph Andrzejak 的一篇题为“由复杂平面中的分形边界限制的嵌合体”的文章是Chaos杂志特刊的一部分，以纪念俄罗斯教授 Vadim S. Anishchenko，(1943-2020)，发表于 2021 年 5 月 3 日. Andrzejak 是 UPF 信息和通信技术部 (DTIC) 非线性时间序列分析组的负责人。这项工作概括了四个二次方程的 Mandelbrot 集。上图是通过这种方法生成的模式示例。
跨越多个数量级的旅程
Andrzejak 指出，“当我们接近越来越小的细节时，可以看到分形图案的复杂性”，作者在下图中说明了这一点。他解释说：“在全球范围内，图中左上角显示的图案类似于 Mandelbrot 的经典系列。但是，一旦我们检查细节，我们就可以看到 Mandelbrot 集中找不到的图案。到更好地看到这些细节，我们放大正方形以制作下一个面板。”
【分形几何与部分同步动力学之间的新桥梁】“分形图案中的迭代放大。从左到右，从上到下，后续面板放大了对应前面面板的正方形。上面的第一个图形再次出现，这里是放大的第五步。
作者通过对比来强调，这些模式确实是在很多数量级上的。他表示“应用于构成图像的十二个面板的缩放相当于将一个原子炸成一辆 SUV 汽车的大小。” “当我们放大，增加图像的大小时，我们看到有各种各样的美学上有趣的形式和形状。我们发现的图案可能看起来不太花丝和不太有序，但它们可能比发现的更多样化在曼德布罗集。”
分形和同步的相互作用
但是，Andrzejak 的提议不仅仅是分形模式。由于作者使用了四个方程而不是一个方程，因此他也能够研究这些分形模式中的同步性。我们如何理解这一点?Andrzejak 解释说：“Mandelbrot 集基于一个带有一个参数和一个变量的方程。我们可以把这个变量想象成一个小球在一个大圆桌的表面上移动。这个球会发生什么取决于方程. 对于此参数的某些值，球会移动并始终位于桌面上。球保持在桌面上的所有这些参数值的集合定义了 Mandelbrot 集。相反，对于剩余的参数值，球会在某个时间点从桌子上掉下来。”
Andrzejak 继续说：“人们可能会认为我们使用的四个方程不仅描述了一个，而是四个球在桌面上的运动。由于方程连接，球不能自由移动。然而，它们相互吸引就像太阳、地球和月亮通过重力相互吸引。” 研究人员补充说，“由于这种吸引力，四个球可以表现出各种形式的同步。两个极端是：四个球一起沿着相同的路径或每个球移动走自己的路。” Andrzejak 然后强调，“最重要的是，超越这些极端，正在寻找所谓的部分同步。例如，两个球可以一起同步移动，而另外两个球保持不同步。这种部分同步的特殊状态称为嵌合状态，”因此是文章的标题。
对现实世界的动态非常重要的问题
如果我们问自己所讨论的数学模型是否与现实世界的动力学相关，Andrzejak 会回答“是的。绝对。最好的例子是大脑。如果我们所有的神经元同步或不同步，我们的大脑就无法” 作者将此与他的工作联系起来说：“我们展示了如何在一个非常简单的模型中建立部分同步，此外，我们展示了这种部分同步如何限制在分形内通过完全同步和去同步来限制。”作者总结道：“如果我们在非常简单的模型中研究部分同步的基本机制，这可以帮助理解它是如何建立的，以及如何在人脑这样的复杂系统中保持稳定。.”