西班牙|西班牙安达卢西亚伊斯兰图案设计的构造与分类 |西班牙|伊斯兰|正方形

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本文论述13-15世纪西班牙一些最著名、保存最完好的伊斯兰艺术设计的数学基础。包含这些精心设计的艺术品包括几何马赛克、装饰性陶瓷作品、象牙、木雕，以及金属制品。然后展示作品照片及其理想化的几何结构。借助计算机绘制的圆规和直尺结构，使用几何画板软件进行探索。对于每种设计，我们可以讨论晶体对称群，以及着色对此的影响。
介绍
伊斯兰艺术的一个特点是用几何设计密铺整个平面。这些设计的基本原则和结构可能是一个由相同的重复单元或图案组成的框架，它们有规律地重复出现，形成一个几何网格或平面的规则划分。为了创造重复单元，伊斯兰艺术家使用直尺和圆规来画圆，并在圆内画出各种形状和大小的多边形。他们可以构建等边三角形、正方形、五边形、六边形、八边形、星形多边形和其他形状。然后，这些多边形可以被进一步分割，形成各种看似永无止境的几何图案。
尽管设计之间的变化可能看起来是无限的，事实上，根据它们所允许的变换对称性，它们都可以被数学描述为只属于有限数量的可能类别。这些对称性包括围绕一个点(称为旋转中心)旋转一个给定的角度，沿着给定的方向平移一个给定的距离，沿着一条直线(称为镜像线)上的镜像反射，以及滑移反射——结合了平移一个给定的距离和平行于一条直线，然后是直线上的反射。要密铺一个平面，可能只有17种不同的对称群(称为晶体对称群) ，包括旋转、平移、反射和滑移反射的各种组合。需要注意的是，晶体学限制只允许一重(恒等变换)、二重、三重、四重或六重旋转[1] 。当考虑设计的颜色对称性时，二维对称群会有附加类别[2] 。
这篇论文会举例说明一些来自13世纪到15世纪西班牙的伊斯兰工匠的艺术品。这些作品包括几何马赛克、装饰性陶瓷作品、象牙、木雕，以及金属作品。设计将分析其对称元素和分类，以确定每个主题的潜在几何结构。然后，这些设计将按照EI-Said和Parman[3]所描述的方式，使用Sketchpad软件[4]重新创建。图案的着色对某些设计的晶体学分类的影响也将被讨论。
两种设计，分类为p4m（在考虑交错时为p4）
第一种图案涉及八角星和十字形，这是一种非常受欢迎的图案，在从西班牙到中亚的整个伊斯兰世界都广泛存在。它被加入到剑柄的设计中。最后一位纳希德统治者，穆罕默德十二世，也被称为Boabdil 。这把在1483年卢切纳战役中缴获的剑被收藏在马德里的埃杰西托博物馆[5](图1) 。图2给出了这种设计的理想化再现，没有交错。

本文图片

该设计(没有交错)看起来高度对称，至少允许围绕八角星的中心进行四重旋转。如果进一步观察，你可能会注意到两条镜像线可以通过十字轴的中心，另外两条镜像线也可以。与这些轴成45度角。因此，有了四个方向的镜像线，似乎可以从正方形的重复构造中获得基本的主题(图3) 。
具体来说，要创造这个图案，可以先构建一个正方形，用线段（对角线）连接正方形的相对顶点（或角点），找到正方形的中心。然后，我们可以找到正方形每条边的中点。利用正方形的中心和其中一个中点，我们可以构建一个内切圆，并找到圆和对角线的交点（图4）。
接下来，通过画四条线段连接原正方形的中点，可以形成一个边与第一个正方形的边成45度角的小正方形。用线段连接圆的其余四个点（也就是圆和对角线的交点），形成第二个边与第一个正方形的边平行的小正方形（图5）。注意，这两个小正方形是全等的。擦去这两个正方形的一些线段，可以形成一个八角星形的多边形（图6）。擦去其他线段和圆，正方形内的图案就完成了（图3），复制即可密铺整个平面。